Алексей Николаевич Грибов родился родился 31 (18) января 1902 года в Москве в семье рабочего.В 1924 году окончании школы при 3-й студии МХТ Алексей вступил в труппу этого театра, с которым связана вся его театральная жизнь.
C 1935 года начал сниматься в кино, сыграл более, чем в 60 фильмах, озвучил 13 мультвильмов.
С 1970 года Алексей Грибов преподавал актёрское мастерство в школе-студии МХАТ.
Помимо театра и кино, выступал с чтением рассказов.
Алексей Николаевич - Народный артист СССР (1948), Герой Социалистического Труда (1972), чктырежды Лауреат Сталинской премии (1942, 1946, 1951, 1952), Лауреат Государственной премии РСФСР имени Станиславского (1974). Награждён орденами Ленина (дважды), Октябрьской революции, Трудового Красного Знамени (дважды).
Скончался 26 ноября 1977 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.